Síla složeného úročení

Složené úročení vychází z dokonale jednoduché myšlenky „úročení úroků“ a lze s ním dosáhnout při dostatečném počtu opakování ohromujících výsledků. Nebojte se, nemusíte být matematikem, abyste kouzlo složeného úročení odhalili. Matematika, která stojí za tímto objevem, je na úrovni středoškolského učiva. Pro začátek si můžeme podstatu složeného úroku ukázat na jednoduchém příkladu.

Pokud si do banky uložíme tisíc korun při úroku 10 % ročně (p. a. – z lat. per annum), za rok obdržíme na úrocích 100 korun a celkem budeme mít na účtu 1 100 Kč. V druhém roce už ovšem získáme na úrocích 110 korun: naše úložka přinese opět stokorunový úrok a k tomu nám banka ještě připíše deset korun za úrok z úroku. Na konci druhého roku tak máme dohromady 1 210 korun. Třetí rok přinese na úrocích 121 Kč atd. Každý další rok na účtu uvidíme o 10 % více než v roce předešlém. Když si počáteční částku označíme jako P₀, počet úrokovacích období písmenem n a úrokovou sazbu jako i, můžeme provést následující zobecnění.

Odvození vzorce složeného úročení

Z tabulky plyne, že na konci n-tého období se počáteční úložka P₀ při úrokové sazbě i zhodnotí na částku:

Pro výše uvedené zadání například platí, že na konci desátého roku budeme mít na účtu téměř 2 600 Kč: 1000×(1+0,1)^10 = 2593,74.. Tuto částku nyní můžeme srovnat s tou, kterou bychom získali za použitím jednoduchého úročení. Při jednoduchém úročení je výše úroku odvozena pouze z počáteční částky a je proto ve všech obdobích stejná. Velikost částky na konci n-tého období se tak obecně určí jako P_n = P₀ × (1 + i × n). V našem příkladě bychom při jednoduchém úročení obdrželi každý rok stovku na úrocích a po deseti letech se dostali na dva tisíce korun.

Celkové zhodnocení za 10 let u složeného úročení dosahuje v relativním vyjádření takřka 160 %, což je o bezmála 60 % více, než při použití úročení jednoduchého. Pro dvacetileté období je tento rozdíl ještě markantnější: při složeném úročení se dostáváme na částku 6 727 Kč, zatímco jednoduché úročení přinese pouze 3 000 korun (zhodnocení 573 % oproti 200 %). Čím delší dobu se částka úročí, tím propastnější rozdíl vzniká mezi oběma způsoby úročení.  Je tomu tak kvůli tomu, že při složeném úročení částka roste v průběhu času exponenciálně (proměnná n je v exponentu, jedná se o exponenciální funkci), zatímco jednoduché úročení se zvyšuje lineárně (lineární funkce, jehož grafem je přímka). Následující graf zachycuje křivky obou druhů úročení a dobře ilustruje sílu složeného úroku.

Jednoduché vs. složené úročení (20 let, úroková sazba 10 % p. a.)

V delším období je rozdíl v hodnotě investic extrémní, v kratším čase dosahuje tento rozdíl o poznání nižších hodnot, leč vzájemné překrytí obou křivek je pouze zdánlivé – viz následující graf.

Jednoduché vs. složené úročení (2 roky, úroková sazba 40 % p. a.)

V tomto případě byl pro lepší znázornění zvolen 40% roční úrok. Vyšší úrok způsobí větší rozdíl mezi úročeními a křivky tolik nesplývají, avšak na vzájemnou polohu křivek tato změna nemá vliv. Obě křivky se protínají pouze v jediném bodě. Není náhoda, že tímto bodem je jednička. Na konci prvního období musí být zhodnocení u obou způsobů úročení stejné. Investor totiž ještě neobdržel žádné úroky, ze kterých by mu plynuly další úroky. Co je zajímavé, v rámci jednoho období poskytuje vyšší zhodnocení jednoduché úročení, proto se v průběhu jednoho úrokového období také v praxi používá.

Zatím se implicitně předpokládalo, že úrokové období (doba, po jejímž uplynutí je připsán úrok) odpovídá jednomu roku. Je ale ovšem možné (a také se tak děje), že jsou úroky připisovány pololetně, čtvrtletně, měsíčně či denně. Podstata složeného úročení však zůstává stejná. Jen je nutné si pohlídat, aby se úroková sazba vztahovala ke zvolenému úrokovému období. Kdyby se v našem příkladu úroky připisovaly třeba čtvrtletně, musíme jako úrokovou sazbu dosadit 2,5 % (10 % p. a. odpovídá 2,5 % q. a. – z lat. per quartale), pro pololetní 5% p.s. (per semestre) atp. Samozřejmě platí, že čím kratší je úrokovací období, tím častěji se připisují úroky a tím vyšší je celkové zhodnocení. Například při čtvrtletním úročení budeme mít na konci prvního roku na účtu přibližně 1 104 Kč [1000 × (1 + 0,1/4)^4 = 1103,81..], tedy téměř o čtyři korun více než při ročním připisování úroku.

Složené úročení je mocná zbraň. Na závěr si zopakujme parametry, které ovlivňují sílu složeného úročení. Velikost efektu složeného úročení na hodnotu investice je určena třemi faktory:

časem – čím déle složený úrok působí, tím lépe,

frekvencí připisování úroků – efekt roste se zkracováním úrokového období

a úrokovou sazbou – vyšší úrok znamená větší efekt složeného úročení.

Komentáře k článku