Ošemetnost průměrů

Když se řekne průměr, většina lidí si vybaví průměrnou mzdu, protože peníze jsou často pro nás vždy až na prvním místě. Mnoho lidí si také uvědomuje, že průměrná mzda není nejpřesnějším odrazem skutečnosti, neboť je jim známo, že u nás dvě třetiny zaměstnanců pobírají mzdu nižší, než činí průměr. V případě platů je tedy lepší hovořit o mediánu, který udává, jakou mzdu dostává zaměstnanec stojící uprostřed pomyslné řady lidí seřazených podle velikosti platů. Nepřekvapí, že medián mezd je o několik tisíc nižší než mzda průměrná. Zkreslení průměru směrem nahoru je způsobeno zlomkem nejlépe placených lidí.

Citlivost průměru na extrémní hodnoty pěkně ilustruje oblíbený vtip statistiků: „Pokud já sním celé kuře a ty nedostaneš nic, v průměru jsme se oba dobře najedli, protože na každého vychází půlka kuřete.“ Pozornému čtenáři jistě neušlo, že zatím byla řeč pouze o klasickém aritmetickém průměru. S jeho počítáním se ve škole setkal každý, kdo se chtěl svým rodičům pochlubit se svým studijním průměrem. Takovému školákovi stačí sečíst všechny známky a výsledek vydělit jejich počtem. Někteří později na střední či vysoké škole zjistí, že ne každá známka má ve výsledném průměru stejnou váhu. V tomto případě mluvíme o váženém aritmetickém průměru, jehož výpočet je jen o trochu složitější. Nejprve musíme každou známku vynásobit její váhou, následně tato čísla sečíst a výslednou sumu vydělit součtem všech vah.

Po tomto stručném představení aritmetického průměru se dostáváme k jádru celého problému. Otázka zní: Je aritmetický průměr vhodným ukazatelem výkonnosti investic? Odpověď zní: Ani náhodou a důvod si ukážeme na příkladu. Předpokládejte, že naše investice přinesla následující roční zhodnocení:

Dejme tomu, že se jedná o akciové portfolio, jehož hodnota výrazně kolísá. Po zběžném pohledu se ale zdá, že procentní růsty jsou vyšší než propady, což potvrzuje i aritmetický průměr, jehož hodnota je +3,75 %: (50 % - 40 % + 25 % - 20 %) / 4. Pakliže očekáváte, že jsme na konci čtvrtého roku „v plusu“, pohled na výpis z účtu vás možná překvapí. V něm se totiž dočtete, že hodnota našeho portfolia je jen 90 % původní investice [ (1+50 %) × (1-40 %) × (1+25 %) × (1-20 %) ]. Realita je tedy taková, že jsme každý rok v průměru ztratili 2,5 % svého akciového jmění. Je tomu tak proto, že uvedená roční zhodnocení (druhým rokem počínaje) jsou odvozena z hodnoty portfolia na konci každého minulého roku, nikoliv z výchozí hodnoty investice. Např. růst o 25 % v jednom roce je plně vymazán ztrátou 20 % v roce následujícím, protože je ztráta vztažena k vyššímu základu.

Pokud mi nyní máte za zlé, že jsem se vás těmito čísly snažil oklamat, vězte, že je tomu právě naopak. S těmito čísly se ve finanční sféře budete potýkat často, a proto není od věci, je umět správně interpretovat. Manažeři fondů vám budou podsouvat zavádějící čísla, kterými budou zdůrazňovat dosažené výnosy a banalizovat ztráty. Relativní denní změna ceny akcie/dluhopisu/měny/komodity bude mnohdy to jediné, co si v ekonomických rubrikách novin přečtete.

Jak z těchto relativních změn dostat průměrné roční zhodnocení, které by ukázalo, zda šla naše investice nahoru či dolu? Lze toho dosáhnout využitím méně známého geometrického průměru. Ten získáme jednoduše jako n-tou odmocninu ze součinu hodnot, kde n udává počet průměrovaných čísel. Z uvedeného výpočtu je zřejmé, že geometrický průměr můžeme využít jen na nezáporná čísla (nelze odmocňovat záporná čísla), což ale v našem případě zase tolik nevadí. Ke každému číslu přičteme jedničku a po odmocnění ji zase odečteme. Např. při kladném zhodnocení 50 % dosadíme do výpočtu 1,5 (1+50 %), u 40% poklesu dáme 0,6 (1-40 %) atd. Protože ceny aktiv nemohou být záporné, neklesnou tedy o více než 100 % a geometrický průměr (GP) bude možné vždy spočítat.

Vrátíme-li se k našemu příkladu: GP = (1,5 × 0,6 × 1,25 × 1,2) ^ (1/4) = 0,974.. Když od tohoto čísla odečteme jedničku, dostaneme výsledných mínus 2,6 % (0,974 -1 = -0,026). Jaká je interpretace této hodnoty? Jedná se o takové každoroční zhodnocení, při kterém se z původní hodnoty portfolia dostaneme k hodnotě koncové [ (1 -0,026)^4 = 90 % ]. Výpočet vychází z principu složeného úročení (více o složeném úročení zde).

Roční procentní zhodnocení se tedy v dalších letech opět nevztahuje k počáteční hodnotě portfolia, pomáhá nám však určit, jakým ročním tempem se investice z(ne)hodnocuje. Je tedy vůbec potřeba počítat průměry? Ne nutně. Pokud známe počáteční a koncovou hodnotu investice, vystačíme si se standardním postupem. Vydělíme koncovou hodnotu portfolia hodnotou počáteční a po odečtení jedničky obdržíme celkový procentní výnos (v našem příkladu: 90/100 - 1 = - 10 %).

Tak si to shrňme. Zjistili jsme, že aritmetický průměr není vhodný k vykazování výkonnosti portfolia. Kladná průměrná roční výnosnost totiž v žádném případě nezaručuje pozitivní zhodnocení investice. Geometrický průměr má vyšší vyjadřovací schopnost, ukazuje nám průměrná roční tempa zhodnocení investice. Známe-li však počáteční a koncovou hodnotu investice, je zbytečné lámat si hlavu s průměry, s jejichž interpretací někdy bývá potíž.

Komentáře k článku